30 dic. 2018

Matemáticas (I): ¿Cómo calculamos?


Las matemáticas no sólo es la ciencia de los números, sino que también se usa en la vida cotidiana, desde calcular el tiempo y la distancia, hasta manejar el dinero, y es esencial en STEM (ciencia, campos de tecnología, ingeniería y matemáticas). Los números están presentes en cualquier cosa de la vida cotidiana, todo está numerado, clasificado, ordenado en el tiempo, cuantificado, valorado, medido, jerarquizado, como un lenguaje especial que nos ayuda a ordenar y dar estabilidad a la realidad que nos rodea, dándonos una referencia, y es usada para ampliar y crear más utilidades de materiales y técnicas que nos hagan la vida más avanzada, estando incluso presente en cualquiera de nuestros entretenimientos y creaciones (deportes, juegos de mesa, arte,…). Tal es nuestra naturaleza matemática, que queremos usar el cálculo hasta para las cosas más abstractas como el amor, la belleza, la creatividad o la inteligencia; o para las que no somos capaces de ver directamente, como el espacio exterior, el abismo de los océanos y las capas profundas de la tierra, o hacer predicciones del futuro.

El sentido numérico es una adquisición del reino animal muy anterior al ser humano, y está presente en un gran abanico de seres vivos de diversas especies, como los simios, delfines, aves, roedores, felinos y muchas más. La supervivencia de ellos depende en buena parte de su sentido numérico, en situaciones que pueden ir desde la cantidad de crías a alimentar, la cantidad de alimentos a conseguir, el número de depredadores a los que poder enfrentarse, estimar las distancias a la que se encuentran las presas o estimar y comparar el tamaño de un rival al que enfrentarse para ser el macho dominante de la manada. El sentido numérico es ancestral, anterior al lenguaje o la lectoescritura. Esta capacidad básica e innata, denominada numerosidad o sentido numérico, permite percibir o estimar el número de objetos que componen un grupo de forma aproximada y distinguir entre mucho o poco.

Los bebés también tienen esa capacidad innata de "numerosidad" o la cantidad de cosas, que va desarrollándose, dando lugar a otras habilidades más sofisticadas de cálculo. El buen funcionamiento del sentido numérico implica que (Serra, 2013):
  • Se entiende el principio de correspondencia uno a uno.
  • Se entiende que los conjuntos de elementos tienen propiedades numéricas, de manera que variando estos conjuntos, estas propiedades se modifican (los conjuntos crecen, disminuyen o se equiparan).
  • Los conjuntos de elementos no tienen que ser visibles, sino que pueden hacer referencia a elementos auditivos, sensitivos, abstractos, como las ideas y los deseos.
  • Se pueden identificar pequeñas cantidades sin necesidad de emplear el código verbal (hasta cuatro elementos).
El sentido numérico tiene sus límites, pudiendo hacer estimaciones de pequeñas cantidades, estimándose en cuatro elementos la capacidad del sistema de estimación. El sentido de numerosidad no sólo estima a simple vista si dos conjuntos son iguales, o uno mayor que otro, sino que también permite la habilidad de percibir que el grupo aumenta o disminuye si se le ponen o quitan elementos (¿y si una hembra pierde una de sus crías en un desplazamiento de un lugar a otro?).


El desarrollo del sentido numérico pasa por diferentes períodos (Dehaene, 1997):

  • Desarrollo del sentido numérico general (sistema central de magnitud): es una habilidad innata que consiste en diferenciar entre uno y múltiples elementos.
  • Desarrollo del sistema numérico verbal: habilidad de asociar una cantidad a una palabra concreta. Se desarrolla entre los 2 y los 6 años
  • Desarrollo del sistema numérico arábigo: habilidad de asociar cantidades a una cifra concreta
  • Desarrollo de la representación de una secuenciación numérica, también denominada línea numérica mental: habilidad de representar secuencialmente una línea numérica imaginaria, lo cual facilita el cálculo aproximado. 
Las consecuencias de falta del sentido numérico son (Artigas-Pallarés, 2011):


  • Escasa habilidad para contar de modo inteligible para el propio sujeto.
  • Dificultad en las operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación y división).
  • Dificultad para el cálculo mental.
  • Necesidad de usar los dedos para contar.
  • Dificultad en la adquisición de automatismos para contar.
  • Dificultad para estimar cálculos aproximados.
  • Dificultad con las secuencias (se pierden al contar, al aprender las tablas de multiplicar, etc.).
  • Lentitud en la realización de tareas matemáticas. Precisan más tiempo y esfuerzo para hacer los deberes de matemáticas y con resultados no muy positivos.
El conteo


La habilidad de contar en voz alta y estrategias para contar. Interviene el giro angular en la conversión grafema (número escrito)-fonema (numero hablado), y fonema-grafema. Por tanto, una alteración en el desarrollo del lenguaje y de la lectoescritura puede provocar un retraso en la adquisición de la habilidad de contar y en el almacenaje de hechos numéricos y aritméticos (Serra, 2013).

Por otro lado, la correspondencia uno a uno también se desarrolla en torno a los dos años, en paralelo a la adquisición del sistema numérico verbal. En esta etapa inicial, las palabras que representan los números son vistos como meras etiquetas, sin una asociación con el conjunto final de objetos. Más adelante, sobre los 3 años y medio, los niños son capaces de contar hasta 3, con correspondencia de “uno a uno”, en voz alta o interiormente. Pueden llegar a responder cuántos objetos hay en total utilizando el conteo.

La habilidad para contar está en la base del desarrollo de las operaciones aritméticas elementales: sumar, restar, multiplicar y dividir.

La magnitud


La importancia de la magnitud de los números es determinante en la realización de tareas aritméticas, especialmente en las de cálculo aproximado. Cuando se comparan dos números entre sí, a igual distancia entre ellos, existe mayor dificultad conforme se incrementan sus valores. Es más fácil comparar la distancia entre 4 y 2, que entre 6 y 4. Cuanto menor es la distancia entre dos números, más tiempo se emplea en compararlos. Se tarda más en compara 5 y 6, que 8 y 2.

En todas estas operaciones, la magnitud de los números representados es un aspecto de gran importancia, ya que la manipulación de números grandes afecta a la dificultad del proceso.


La aritmética


La realización de la suma lleva implícito el hecho de entender que hay que unir dos conjuntos de elementos y contar el total de estos. Esto puede conseguirse a través de diferentes estrategias:

Se cuentan los elementos del primer conjunto, y se continua contando con los del segundo conjunto. Por ejemplo, 3+4, se cuenta un, dos tres, y se continua con el segundo conjunto cuatro, cinco, seis y siete. Otra forma es que, pariendo de la cifra del primer conjunto (3), se sigue contando los elementos del segundo conjunto. Una tercera estrategia, más sencilla y con menor riesgo a equivocarse, es partir del conjunto mayor (4), y seguir contando los elementos del conjunto menor. Una estrategias más es saberse de memoria las sumas de pequeñas cantidades, de tal forma que no sea necesario contar. Te las aprendes como si se tratasen de unas tablas. El aprendizaje de la resta puede basarse en estrategias similares, aunque resulte algo más complejo para los niños.

Respecto a la multiplicación y la división, han de introducirse más tarde, explicándose bajo la base de que sumas o restas repetidas. La división da lugar a otros conceptos matemáticos como las fracciones y los porcentajes.

Posteriormente, y en paralelo a hacer más complejas las operaciones aritméticas, se van introduciendo conceptos de magnitud, los sistemas de medida, la geometría, la proporcionalidad, la estadística, la probabilidad y un largo etcétera. Como vemos, partiendo del sentido numérico original, fruto de la escolarización se va sofisticando el aprendizaje del cálculo y, con ello, formando los complejos circuitos neurocognitivos y las estrategias cognitivas para su aplicación.


Modelos de procesamiento numérico


A lo largo de los últimos años, se han propuestos diferentes modelos para explicar el procesamiento numérico, destacando dos por encima de todos ellos: el modelo de McClosky et al. (1985), y el modelo de triple código de procesamiento de Dehaene et al. (2003).

McClosky et al. (1985), distinguen tres componentes: el sistema de procesamiento numérico, el sistema de cálculo y el sistema de representaciones semánticas. Las alteraciones en uno u otro sistema se manifiestas de manera diferente. Así, las características de cada sistema serían:

  • Sistema de procesamiento numérico: compuesto por un subsistema de entrada (input), en que se distingue el código arábigo (7), y el verbal (siete) en sus modalidades fonológica y escrita. Por otro lado, un subsistema de salida (output) o de producción, subdividido de igual forma que el de entrada.
  • Sistema de cálculo: formado por un subsistema de cálculo mental y un subsistema de cálculo escrito. Ambos subsistemas incluyen la capacidad para comprender los signos matemáticos, el acceso a los datos aritméticos básicos (tablas de multiplicar, sumas elementales), y el dominio de algoritmos esenciales para la resolución de las operaciones básicas (ej: sumas o restas con llevadas).
  • Sistema de representaciones semánticas: que codifica la información de magnitudes y actúa de intermediario en la transcodificación o traducción de un código de entrada (input) a uno de salida (output) diferentes. También actúa de intermediario en la resolución de operaciones aritméticas.

Por su parte, el modelo del triple código (Dehaene et al., 2003), afirma que el procesamiento aritmético depende de tres sistemas con funciones diferentes, organizados en módulos: el módulo verbal, el visual y el de magnitud. Las operaciones que son relativamente simples, que dependen del lenguaje, son procesadas por el sistema verbal (hemisferio izquierdo), mientras que las tareas más complejas, que requieren la estimación de magnitudes y la representación visual se encuentran localizadas en los dos hemisferios, implicando los sistemas visual y de magnitud. En el siguiente punto volvemos a hacer referencia a este modelo.

Los estudios realizados confirman parcialmente ambos modelos. En términos de la representación del significado numérico, hace falta una línea mental analógica, como se propone el modelo del triple código. Con relación  la representación de los procedimientos específicos de cálculo (suma, resta, multiplicación y división), el modelo de McClosky et al., predice que cada uno de ellos pude estar afectado selectivamente por una lesión, hecho que apoyan los datos empíricamente. En cuanto a la controversia acerca de la transcodificación de formas arábigas a verbales, existen datos a favor de la existencia de una vía semántica y de otra asemántica.

Bibliografía:

  • Artigas Pallarés, J. (2011) Discalculia. En J. Artigas-Pallarés y J. Narbona (Coords.) Trastornos del neurodesarrollo. Barcelona: Viguera.
  • Dehaene, S. (1997). The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics. New York: Oxford University Press.
  • Dehaene, S.; Piazza, M.; Pinel, P.; Cohen, L. (2003) Three parietal circuits for number processing. Cognitive Neuropsychology, 20, 487-506.
  • McClosky, M.; Caramazza, A.; Basil, A. (1985) Cognitive mechanisms in number processing and calculation: evidence from dyscalculia. Brain and Cognition, 4, 171-196.
  • Serra, J.M. (2013) Representación numérica. En D. Redolar (coord.) Neurociencia cognitiva. Madrid: Editorial Médica Panamericana.

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